CLASE DEL SÁBADO 2 DE MARZO
TEMA: REPASO PRUEBA RECUPERACIÓN
CONTENIDO: TEMA 1º QUIMESTRE
DESARROLLO:
Se resolvieron los ejercicios propuestos en el Trabajo de Recuperación, consistentes en:
Punto - pendiente
Sistemas de ecuaciones
Operaciones combinadas
Factorización
Deseo que les vaya bien en el examen, recordando que el mayor esfuerzo es de ustedes al estudiar a conciencia.
Nos vemos la siguiente clase, el día 16 de marzo., y les recomiendo que estudien el primer capítulo de la guía del segundo quimestre.
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CLASE DEL SÁBADO 16 DE MARZO
TEMA: RADICALES
CONTENIDO: NÚMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS RADICALES
DESARROLLO:
CLASE DEL SÁBADO 16 DE MARZO
TEMA: RADICALES
CONTENIDO: NÚMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS RADICALES
DESARROLLO:
NÚMEROS REALES
Los números Reales, comprenden desde los Naturales (N) hasta los Irracionales (I).
Como se sabe, los enteros comprenden desde los naturales, el cero y los negativos. los Racionales comprenden los enteros y fraccionarios. Los Reales comprenden los enteros, los fraccionarios, los racionales y los irracionales.
Potencias y radicales
Se puede expresar un radical en forma de potencia:
Radicales equivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:
Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.
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CLASE DEL SÁBADO 23 DE MARZO
TEMA: RACIONALIZACIÓN
CONTENIDO: RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
DESARROLLO:
¿Qué es la racionalización?
•Es un proceso que nos permite escribir una expresión algebraica racional o numérica racional que contenga radicales en el denominador en la forma fraccionaria con denominador entero.
•Este proceso consiste en amplificar la expresión racional original por el número uno, pero escrito de manera conveniente para obtener una expresión equivalente a la original.
Casos de la racionalización
1. Si en el denominador hay una raíz cuadrada multiplicamos la fracción por esa raíz
2. Si en el denominador hay una raíz no cuadrada buscamos la raíz que al multiplicar al radicando se pueda extraer esta entera.
3. Si en el denominador hay una suma ( o resta ) con raíces cuadradas.Nota: para esto necesitaremos las identidades notables
Historia de la racionalización
•El gran matemático Srinivasa Ramanujan nació en el sur de la India en 1887, y desarrolló gran parte de sus estudios matemáticos como autodidacta, pues no tuvo una formación universitaria.
•A los 25 años escribió una carta al reconocido matemático inglés G. H. Hardy, solicitando su atención a los resultados que él había obtenido sobre varios temas de la Teoría de Números. En su carta de 10 páginas, Ramanujan expuso diversos teoremas descubiertos por él y sorprendió a Hardy por su genial originalidad.
Aportes de Srinivasa Ramanujan
•A los 26 años viajó a Inglaterra para trabajar con Hardy, y muchos de sus teoremas fueron publicados más tarde. Escribió cerca de 3.000 teoremas en diversas ramas de las Matemáticas.
•Ramanujan hacía cálculos mentales con una facilidad extraordinaria, y el haber afirmado que es un número entero, es una muestra de su genialidad.
•Ramanujan le corrigió explicándole por qué este número era en realidad muy interesante: es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas, pues
y 
¿Qué es la racionalización de expresiones algebraicas o numéricas?
Algunas expresiones algebraicas o numéricas que tienen forma de número racional (a/b) tienen denominador que se compone de números irracionales o expresiones algebraicas radicales, por ejemplo:
Racionalización algebraica
Dada una expresión algebraica cuyo denominador involucra radicales, se llama racionalización del denominador de dicha expresión al proceso por el cual se determina otra expresión algebraica que no involucra radicales en el denominador y que es equivalente a la expresión algebraica dada.Caso de la Racionalizacion algebraica
En cada una de las siguientes expresiones, racionalice el denominador y simplifique el resultado.
Racionalizacion de radicales
•Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.
•Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.
Primer caso de Racionalizacion de radicales
Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Segundo caso de Racionalizacion de radicales
Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa
Tercer caso de Racionalizacion de radicales
Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia de exponente n.
CLASE DEL SÁBADO 06 DE ABRIL/2013
TEMA: 1º PARCIAL
CONTENIDO: POTENCIAS Y RADICALES
DESARROLLO:
los resultados fueron poco satisfactorios para el 50 % de la población estudiantil, por lo que se ha programado "CLASES DE RECUPERACIÓN" en temas que se observa, no manejan adecuadamente. estas clases permitirán adicionar nota a la del 1º parcial.
la clase de recuperación es el día MARTES 09 DE ABRIL/2013. Quedan convocados.
CLASE DEL MARTES 09 DE ABRIL/2013
TEMA: RECUPERACIÓN
CONTENIDO: NÚMEROS PRIMOS, CRITERIOS DIVISIBILIDAD Y FACTORES PRIMOS
DESARROLLO:
Asistieron 17 estudiantes, que les interesa en realidad aprender y desarrollar sus capacidades. Gracias.
Como requisito indispensable, solicito que se repase PLENAMENTE Y A CONCIENCIA, las "TABLAS DE MULTIPLICAR". El temario visto es:
NÚMEROS PRIMOS
Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.
Ejemplos:
a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1.
b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como 15·1)
El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos.
Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5)
Los 25 primeros números primos menores que 100 son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97
A continuación se da la tabla de los números primos menores a 1000
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
NOTA: La palabra "factor" en matemáticas, se refiere siempre a una "multiplicación".
La palabra "multiplo" en matemáticas, se refiere a que se deja "dividir" exactamente.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Estos criterios, permiten saber cuales son los divisores exactos de un número.
- Un número es divisible por 2, cuando termina en cifra PAR o CERO
Ejemplo: 24 es divisible para 2, pues termina en 4, que es par
1268 es divisible para 2, pues termina en 8, que es par
111116 es divisible para 2, pues termina en 6, que es par
35790 es divisible para 2, pues termina en 0
- Un número es divisible por 3, cuando la suma de sus cifras es MÚLTIPLO DE 3
Ejemplo: 24 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (2 + 4 = 6) es un múltiplo de 3
126 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (1+2+6 = 9) es un múltiplo de 3
1111116 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (1+1+1+1+1++1+6 = 12)
es un múltiplo de 3
35760 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (3+5+7+6+0 = 21) es un múltiplo de 3
- Un número es divisible por 5, cuando termina en cifra CINCO o CERO
Ejemplo: 20 es divisible para 5, pues termina en 0
1265 es divisible para 5, pues termina en 5
111115 es divisible para 5, pues termina en 5
35795 es divisible para 5, pues termina en 5
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS.
Descomponer un número en "FACTORES PRIMOS" consiste en expresarlo como el "PRODUCTO DE NÚMEROS PRIMOS"
Ejemplos:
37800 2
18900 2
9450 2
4725 3
1575 3
525 3
175 5
35 5
7 7
1
1890 2
945 3
315 3
105 3
35 5
7 7
1
20328 2
10164 2
5082 2
2541 3
847 7
121 11
11 11
1
51235 es un número primo, pues no tiene factores primos.
496947 es divisible para 3, 11 y 37, y es igual a:
496947 = 3 x 11² x 37²
327301 es divisible para 11 y 31, y es igual a:
327701 = 11 x 31²
208537 es divisible para 7 y 31, y es igual a:
208537 = 7 x 31³
48763 es divisible para 11, 13 y 31, y es igual a:
48763 = 11² x 13 x 31
47601 es divisible para 3, 41 y 43, y es igual a:
47601 = 3³ x 41 x 43
21901 es divisible para 11 y 181, y es igual a:
21901 = 11² x 181
20677 es divisible para 23, 29 y 31.
13690 es divisible para 2, 5 y 37
5887 es divisible para 7 y 29
3887 es divisible para 13 y 23
NOTA: La siguiente clase de recuperación es el día viernes 12 de abril/2013, a partir de las 18H00 (6 de la tarde) hasta los 20H00 (8 de la noche). favor llevar el deber resuelto de "Descomposición en Factores primos". Gracias por su asistencia pues demuestran responsabilidad, interés, capacidad y "ganas" de aprender y mejorar en su vida y entorno. Por Favor, Repasar las TABLAS DE MULTIPLICAR, (aprendérselas de memoria), del 2 hasta el 11.
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CLASE DEL VIERNES 12 DE ABRIL/2013
TEMA: RECUPERACIÓN (2ª PARTE)
CONTENIDO: NÚMEROS Y LETRAS CON SIGNOS.
DESARROLLO:
Asistieron 18 estudiantes que les interesa en realidad aprender y desarrollar sus capacidades. Gracias.
Como requisito indispensable, solicito que se repase PLENAMENTE Y A CONCIENCIA, las "TABLAS DE MULTIPLICAR Y LAS LEYES DE LOS SIGNOS". El temario visto es:
NÚMEROS Y LETRAS CON SIGNOS
Todo número se puede representar en la recta numérica, teniendo en cuenta que los POSITIVOS se localizan a la derecha del CERO, y los NEGATIVOS se localizan a la izquierda del CERO.
· SUMA DE DOS NÚMEROS POSITIVOS
Se suman como en aritmética, y se conserva el signo.
EJEMPLO: (+ 3) + (+ 5) = + 8
· SUMA DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS
Se suman como en aritmética, y se conserva el signo.
EJEMPLO: (– 3) + (– 5) = – 8
· SUMA DE UN NÚMERO POSITIVO Y UN NÚMERO NEGATIVO Y VICEVERSA
Se restan como en aritmética, y la respuesta lleva el signo de la cifra mayor.
EJEMPLO: (– 3) + (+ 5) = + 2
· PRODUCTO DE DOS NÚMEROS POSITIVOS
Se multiplican como en aritmética, y la respuesta es positiva
EJEMPLO: (+ 3) x (+ 5) = + 15
· PRODUCTO DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS
Se multiplican como en aritmética, y la respuesta es positiva
EJEMPLO: (– 3) x (– 5) = + 15
· MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POSITIVO
Y UN NÚMERO NEGATIVO Y VICEVERSA
Se multiplican como en aritmética, y la respuesta es negativa.
EJEMPLO: (– 3) x (+ 5) = – 15
x
-9
7
-8
6
-5
11
9
-6
-7
8
11
6
1. -3-{-2-[-9-5(1-2)-7]-3(1-7)}-4
2. 3-{8+2[-3(2-4)-1]-1}-2
3. -1-{-1[(-1(-1)-(-1)(-1)]-(-1)-1}-1
CLASE DEL SÁBADO 20 DE ABRIL/2013
TEMA: RADICALES
CONTENIDO: SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES
DESARROLLO:
Simplificando expresiones radicales
Antes que podamos simplificar una expresión radical, debemos conocer las propiedades importantes de los radicales.
PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE RAÍCES CUADRADAS
Para todos los números reales a y b,
Esto es, la raíz cuadrada del producto es lo mismo que el producto de las raíces cuadradas.
Hay una propiedad de cociente análoga:
Para todos los números reales a y b, b ≠ 0:
SIMPLIFICANDO RADICALES
La idea aquí es encontrar un factor cuadrado perfecto del radicando, escribir el radicando como un producto, y luego usar la propiedad del producto para simplificar.
Ejemplo 1:
Simplifique. 
9 es un cuadrado perfecto, que también es un factor de 45.
Use la propiedad del producto.
Si el número debajo del radical no tiene factores cuadrados perfectos, entonces no puede simplificarse más. Por ejemplo la 
no puede simplificarse más porque los únicos factores de 17 son 17 y 1. Así, no hay factores cuadrados perfectos más que el 1.
Ejemplo 2:
Simplifique. 
Use la propiedad del cociente para escribir bajo un solo signo de raíz cuadrada.
Divida.
Si el número en el denominador no es un factor del número en el numerador, debemos racionalizar el denominador, que es hacer que el signo de radical aparezca solo en el numerador.”
Ejemplo 3:
Simplifique. 
Simplifique.
Algunas veces necesitamos usar una combinación de pasos.
Ejemplo 4:
Simplifique. 
21 y 9 tienen un factor común de 3, así reduzca la fracción debajo del radical.
Ahora racionalize el denominador.
Solamente podemos sumar o restar dos expresiones radicales si los radicandos son iguales. Por ejemplo, 
no puede simplificarse más. Pero podemos simplificar 
usando la propiedad distributiva, porque los radicandos son iguales.
Tenga cuidado! Algunas ocasiones, los radicandos se ven diferentes, pero es posible simplificar y obtener el mismo radicando.
Ejemplo 5:
Simplifique. 
Simplifique ambas expresiones radicales:
Ahora, los radicandos son iguales. Sume usando la propiedad distributiva.
EXPRESIONES DE VARIABLES DEBAJO DEL SIGNO DE RADICAL
Cuando tiene variables debajo del signo de radical, vea si puede factorizar un cuadrado.
Ejemplo 6:
Simplifique. 
Factorice el radicando como el producto de a y una expresión cuadrada.
Use la propiedad del producto de raíces cuadradas:
Simplifique.
TENGA CUIDADO QUE SU VARIABLE SOLO APLIQUE PARA UN NÚMERO POSITIVO. Por ejemplo, 
, pero si a < 0, entonces 
(el opuesto de a), ya que el signo de raíz cuadrada indica la raíz cuadrada positiva. Ya que no hay forma de saber si a es positiva o negativa, usamos el valor absoluto. Así, 
.
La única ocasión que debemos preocuparnos es si el índice del radical es par, el exponente del radicando es par, y el exponente de la raíz es impar.
Ejemplo 7:
Simplifique. 
Reescriba el radicando usando expresiones cuadradas donde sea posible.
Simplifique. (a no podría ser negativa porque no habríamos podido realizar la raíz cuadrada de a3. Sin embargo, b podría ser negativa, así usamos los signos de valor absoluto.)
CLASE DEL SÁBADO 23 DE MARZO
TEMA: RACIONALIZACIÓN
CONTENIDO: RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
DESARROLLO:
¿Qué es la racionalización?
•Es un proceso que nos permite escribir una expresión algebraica racional o numérica racional que contenga radicales en el denominador en la forma fraccionaria con denominador entero.
•Este proceso consiste en amplificar la expresión racional original por el número uno, pero escrito de manera conveniente para obtener una expresión equivalente a la original.
•Es un proceso que nos permite escribir una expresión algebraica racional o numérica racional que contenga radicales en el denominador en la forma fraccionaria con denominador entero.
•Este proceso consiste en amplificar la expresión racional original por el número uno, pero escrito de manera conveniente para obtener una expresión equivalente a la original.
Casos de la racionalización
1. Si en el denominador hay una raíz cuadrada multiplicamos la fracción por esa raíz
2. Si en el denominador hay una raíz no cuadrada buscamos la raíz que al multiplicar al radicando se pueda extraer esta entera.
3. Si en el denominador hay una suma ( o resta ) con raíces cuadradas.Nota: para esto necesitaremos las identidades notables
Historia de la racionalización
•El gran matemático Srinivasa Ramanujan nació en el sur de la India en 1887, y desarrolló gran parte de sus estudios matemáticos como autodidacta, pues no tuvo una formación universitaria.
•A los 25 años escribió una carta al reconocido matemático inglés G. H. Hardy, solicitando su atención a los resultados que él había obtenido sobre varios temas de la Teoría de Números. En su carta de 10 páginas, Ramanujan expuso diversos teoremas descubiertos por él y sorprendió a Hardy por su genial originalidad.
Aportes de Srinivasa Ramanujan
•A los 26 años viajó a Inglaterra para trabajar con Hardy, y muchos de sus teoremas fueron publicados más tarde. Escribió cerca de 3.000 teoremas en diversas ramas de las Matemáticas.
•Ramanujan hacía cálculos mentales con una facilidad extraordinaria, y el haber afirmado que es un número entero, es una muestra de su genialidad.
•Ramanujan le corrigió explicándole por qué este número era en realidad muy interesante: es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas, pues
y 
¿Qué es la racionalización de expresiones algebraicas o numéricas?
Algunas expresiones algebraicas o numéricas que tienen forma de número racional (a/b) tienen denominador que se compone de números irracionales o expresiones algebraicas radicales, por ejemplo:
Racionalización algebraica
Dada una expresión algebraica cuyo denominador involucra radicales, se llama racionalización del denominador de dicha expresión al proceso por el cual se determina otra expresión algebraica que no involucra radicales en el denominador y que es equivalente a la expresión algebraica dada.Caso de la Racionalizacion algebraica
En cada una de las siguientes expresiones, racionalice el denominador y simplifique el resultado.
Racionalizacion de radicales
•Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.
•Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.
Primer caso de Racionalizacion de radicales
Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Segundo caso de Racionalizacion de radicales
Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa
Tercer caso de Racionalizacion de radicales
Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia de exponente n.
CLASE DEL SÁBADO 06 DE ABRIL/2013
TEMA: 1º PARCIAL
CONTENIDO: POTENCIAS Y RADICALES
DESARROLLO:
los resultados fueron poco satisfactorios para el 50 % de la población estudiantil, por lo que se ha programado "CLASES DE RECUPERACIÓN" en temas que se observa, no manejan adecuadamente. estas clases permitirán adicionar nota a la del 1º parcial.
la clase de recuperación es el día MARTES 09 DE ABRIL/2013. Quedan convocados.
CLASE DEL MARTES 09 DE ABRIL/2013
TEMA: RECUPERACIÓN
CONTENIDO: NÚMEROS PRIMOS, CRITERIOS DIVISIBILIDAD Y FACTORES PRIMOS
DESARROLLO:
Asistieron 17 estudiantes, que les interesa en realidad aprender y desarrollar sus capacidades. Gracias.
Como requisito indispensable, solicito que se repase PLENAMENTE Y A CONCIENCIA, las "TABLAS DE MULTIPLICAR". El temario visto es:
NÚMEROS PRIMOS
Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.
Ejemplos:
a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1.
b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como 15·1)
b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como 15·1)
El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos.
Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5)
Los 25 primeros números primos menores que 100 son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97
A continuación se da la tabla de los números primos menores a 1000
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 |
| 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 |
| 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 |
| 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 |
| 389 | 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 |
| 503 | 509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 | 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 |
| 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 | 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 | 751 |
| 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 | 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 |
| 883 | 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
NOTA: La palabra "factor" en matemáticas, se refiere siempre a una "multiplicación".
La palabra "multiplo" en matemáticas, se refiere a que se deja "dividir" exactamente.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Estos criterios, permiten saber cuales son los divisores exactos de un número.
- Un número es divisible por 2, cuando termina en cifra PAR o CERO
Ejemplo: 24 es divisible para 2, pues termina en 4, que es par
1268 es divisible para 2, pues termina en 8, que es par
111116 es divisible para 2, pues termina en 6, que es par
35790 es divisible para 2, pues termina en 0
- Un número es divisible por 3, cuando la suma de sus cifras es MÚLTIPLO DE 3
Ejemplo: 24 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (2 + 4 = 6) es un múltiplo de 3
126 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (1+2+6 = 9) es un múltiplo de 3
1111116 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (1+1+1+1+1++1+6 = 12)
es un múltiplo de 3
35760 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (3+5+7+6+0 = 21) es un múltiplo de 3
- Un número es divisible por 5, cuando termina en cifra CINCO o CERO
Ejemplo: 20 es divisible para 5, pues termina en 0
1265 es divisible para 5, pues termina en 5
111115 es divisible para 5, pues termina en 5
35795 es divisible para 5, pues termina en 5
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS.
Descomponer un número en "FACTORES PRIMOS" consiste en expresarlo como el "PRODUCTO DE NÚMEROS PRIMOS"
Ejemplos:
37800 2
18900 2
9450 2
4725 3
1575 3
525 3
175 5
35 5
7 7
1
1890 2
945 3
315 3
105 3
35 5
7 7
1
20328 2
10164 2
5082 2
2541 3
847 7
121 11
11 11
1
51235 es un número primo, pues no tiene factores primos.
496947 es divisible para 3, 11 y 37, y es igual a:
| 496947 | = | 3 | x | 11² | x | 37² |
327301 es divisible para 11 y 31, y es igual a:
| 327701 | = | 11 | x | 31² |
208537 es divisible para 7 y 31, y es igual a:
| 208537 | = | 7 | x | 31³ |
48763 es divisible para 11, 13 y 31, y es igual a:
| 48763 | = | 11² | x | 13 | x | 31 |
47601 es divisible para 3, 41 y 43, y es igual a:
| 47601 | = | 3³ | x | 41 | x | 43 |
21901 es divisible para 11 y 181, y es igual a:
| 21901 | = | 11² | x | 181 |
20677 es divisible para 23, 29 y 31.
13690 es divisible para 2, 5 y 37
5887 es divisible para 7 y 29
3887 es divisible para 13 y 23
NOTA: La siguiente clase de recuperación es el día viernes 12 de abril/2013, a partir de las 18H00 (6 de la tarde) hasta los 20H00 (8 de la noche). favor llevar el deber resuelto de "Descomposición en Factores primos". Gracias por su asistencia pues demuestran responsabilidad, interés, capacidad y "ganas" de aprender y mejorar en su vida y entorno. Por Favor, Repasar las TABLAS DE MULTIPLICAR, (aprendérselas de memoria), del 2 hasta el 11.
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CLASE DEL VIERNES 12 DE ABRIL/2013
TEMA: RECUPERACIÓN (2ª PARTE)
CONTENIDO: NÚMEROS Y LETRAS CON SIGNOS.
DESARROLLO:
Asistieron 18 estudiantes que les interesa en realidad aprender y desarrollar sus capacidades. Gracias.
Como requisito indispensable, solicito que se repase PLENAMENTE Y A CONCIENCIA, las "TABLAS DE MULTIPLICAR Y LAS LEYES DE LOS SIGNOS". El temario visto es:
NÚMEROS Y LETRAS CON SIGNOS
Todo número se puede representar en la recta numérica, teniendo en cuenta que los POSITIVOS se localizan a la derecha del CERO, y los NEGATIVOS se localizan a la izquierda del CERO.
· SUMA DE DOS NÚMEROS POSITIVOS
Se suman como en aritmética, y se conserva el signo.
EJEMPLO: (+ 3) + (+ 5) = + 8
· SUMA DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS
Se suman como en aritmética, y se conserva el signo.
EJEMPLO: (– 3) + (– 5) = – 8
· SUMA DE UN NÚMERO POSITIVO Y UN NÚMERO NEGATIVO Y VICEVERSA
Se restan como en aritmética, y la respuesta lleva el signo de la cifra mayor.
EJEMPLO: (– 3) + (+ 5) = + 2
EJEMPLO: (+ 3) + (– 5) = – 2
· PRODUCTO DE DOS NÚMEROS POSITIVOS
Se multiplican como en aritmética, y la respuesta es positiva
EJEMPLO: (+ 3) x (+ 5) = + 15
· PRODUCTO DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS
Se multiplican como en aritmética, y la respuesta es positiva
EJEMPLO: (– 3) x (– 5) = + 15
· MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POSITIVO
Y UN NÚMERO NEGATIVO Y VICEVERSA
Se multiplican como en aritmética, y la respuesta es negativa.
EJEMPLO: (– 3) x (+ 5) = – 15
EJEMPLO: (+ 3) x (– 5) = – 15
EJERCICIOS
NOMBRE: ______________________________________ CURSO: ______________________
Resolver los siguientes:
1. (4)(-6)+(3)(8)-(-7)(-2)(-3)
2. (-5)+(-3)-(2)(5)(-7)(-1)
3. –(-3)(-1)-(-2)(2)-4)+(-9)-(8)
4. (-3)(-2)(-5)(-4)-(5)(3)(2)
5. {-5+3[-4-3(-5+2)]}-8(-4+1)
6. 5+22-6x4+8-4-4x7-5(-2)+9(-3)
7. 12-11+4-8(-6)+12(-3)
8. 7(-3)-14+5(2)+3(-4)
9. 14-3(5-7)+10(-1)
10. -3+[2-5(-3)+2]-8
11. -4-{-2[3(1-2)-1+5]-8+2}-1
12. -8-{-2[-5(-3)+(1+7)-1-5]-8+2}-1
13. Completa la siguiente tabla
x
|
-9
|
7
|
-8
|
6
|
-5
|
11
|
9
| ||||||
-6
| ||||||
-7
| ||||||
8
| ||||||
11
| ||||||
6
|
1. -3-{-2-[-9-5(1-2)-7]-3(1-7)}-4
2. 3-{8+2[-3(2-4)-1]-1}-2
3. -1-{-1[(-1(-1)-(-1)(-1)]-(-1)-1}-1
4. {45/9-8[3-5(10/2-6)]+3}-1
CLASE DEL SÁBADO 20 DE ABRIL/2013
TEMA: RADICALES
CONTENIDO: SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES
DESARROLLO:
Simplificando expresiones radicales
Antes que podamos simplificar una expresión radical, debemos conocer las propiedades importantes de los radicales.
PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE RAÍCES CUADRADAS
Para todos los números reales a y b,
Esto es, la raíz cuadrada del producto es lo mismo que el producto de las raíces cuadradas.
Hay una propiedad de cociente análoga:
Para todos los números reales a y b, b ≠ 0:
SIMPLIFICANDO RADICALES
La idea aquí es encontrar un factor cuadrado perfecto del radicando, escribir el radicando como un producto, y luego usar la propiedad del producto para simplificar.
Ejemplo 1:
Simplifique.
9 es un cuadrado perfecto, que también es un factor de 45.
Use la propiedad del producto.
Si el número debajo del radical no tiene factores cuadrados perfectos, entonces no puede simplificarse más. Por ejemplo la no puede simplificarse más porque los únicos factores de 17 son 17 y 1. Así, no hay factores cuadrados perfectos más que el 1.
no puede simplificarse más porque los únicos factores de 17 son 17 y 1. Así, no hay factores cuadrados perfectos más que el 1.
Ejemplo 2:
Simplifique.
Use la propiedad del cociente para escribir bajo un solo signo de raíz cuadrada.
Divida.
Si el número en el denominador no es un factor del número en el numerador, debemos racionalizar el denominador, que es hacer que el signo de radical aparezca solo en el numerador.”
Ejemplo 3:
Simplifique.
Simplifique.
Algunas veces necesitamos usar una combinación de pasos.
Ejemplo 4:
Simplifique.
21 y 9 tienen un factor común de 3, así reduzca la fracción debajo del radical.
Ahora racionalize el denominador.
Solamente podemos sumar o restar dos expresiones radicales si los radicandos son iguales. Por ejemplo, no puede simplificarse más. Pero podemos simplificar usando la propiedad distributiva, porque los radicandos son iguales.
no puede simplificarse más. Pero podemos simplificar usando la propiedad distributiva, porque los radicandos son iguales.
Tenga cuidado! Algunas ocasiones, los radicandos se ven diferentes, pero es posible simplificar y obtener el mismo radicando.
Ejemplo 5:
Simplifique.
Simplifique ambas expresiones radicales:
Ahora, los radicandos son iguales. Sume usando la propiedad distributiva.
EXPRESIONES DE VARIABLES DEBAJO DEL SIGNO DE RADICAL
Cuando tiene variables debajo del signo de radical, vea si puede factorizar un cuadrado.
Ejemplo 6:
Simplifique.
Factorice el radicando como el producto de a y una expresión cuadrada.
Use la propiedad del producto de raíces cuadradas:
Simplifique.
TENGA CUIDADO QUE SU VARIABLE SOLO APLIQUE PARA UN NÚMERO POSITIVO. Por ejemplo, , pero si a < 0, entonces (el opuesto de a), ya que el signo de raíz cuadrada indica la raíz cuadrada positiva. Ya que no hay forma de saber si a es positiva o negativa, usamos el valor absoluto. Así, .
, pero si a < 0, entonces (el opuesto de a), ya que el signo de raíz cuadrada indica la raíz cuadrada positiva. Ya que no hay forma de saber si a es positiva o negativa, usamos el valor absoluto. Así, .
La única ocasión que debemos preocuparnos es si el índice del radical es par, el exponente del radicando es par, y el exponente de la raíz es impar.
Ejemplo 7:
Simplifique.
Reescriba el radicando usando expresiones cuadradas donde sea posible.
Simplifique. (a no podría ser negativa porque no habríamos podido realizar la raíz cuadrada de a3. Sin embargo, b podría ser negativa, así usamos los signos de valor absoluto.)
La matemática es muy buena y elemental para todo, es un lenguaje universal o global porque está en todas partes.
ResponderEliminar10° "A"
la matemática es muy importante en el mundo ya que muchas de la veces la entendemos rápido o veces complicada alumna del 10 A
ResponderEliminarlic.. buenas tardes espero ponerle todas mis ganas para salir bien en todas las materias y en especial la de matematica p 10mo (a)
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